数列极限 ε-N 关系交互演示

数列极限的定义 (ε-N 定义)

对于数列 \( \{a_n\} \)，若存在常数 \( L \)，对任意 \( \epsilon > 0 \)，都存在正整数 \( N \)，

当 \( n > N \) 时，有 \( |a_n - L| < \epsilon \)，则称数列 \( \{a_n\} \) 收敛于 \( L \)。

数学表达式：\[ \lim_{n \to \infty} a_n = L \iff \forall \epsilon > 0, \exists N \in \mathbb{N}, \forall n > N, |a_n - L| < \epsilon \]

在本演示中，我们将展示这个定义如何应用于振荡数列：

\[ a_n = \frac{(-1)^n}{n} \] 该数列收敛于 \( L = 0 \)。

演示说明

本交互式演示展示了振荡数列 \( a_n = \frac{(-1)^n}{n} \) 的极限行为，该数列收敛于 0。

使用方法：

拖动滑块调整 ε 值，观察 N 值的变化
红色点表示 \( n \leq N \) 的项（可能位于 ε 带外）
蓝色点表示 \( n > N \) 的项（全部位于 ε 带内）
灰色区域表示 ε 带（\( L \pm \epsilon \)）
黑色水平线表示极限值 \( L = 0 \)
绿色虚线标记当前的 N 值位置

数学观察：

当 ε 减小时，所需的 N 值增大
对于任意 ε > 0，总能找到足够大的 N，使得当 n > N 时所有项都落在 ε 带内
数列以振荡方式趋近于极限值 0
对于这个数列，满足条件的 N 值为 \( N = \lceil \frac{1}{\epsilon} \rceil \)

数学注解：

对于这个数列，要保证 \( \left| \frac{(-1)^n}{n} - 0 \right| = \frac{1}{n} < \epsilon \)，需要 \( n > \frac{1}{\epsilon} \)。因此，满足条件的最小整数 N 是 \( N = \lceil \frac{1}{\epsilon} \rceil \)。